Question

求點A（a，0）到橢圓

x2

2

+y²=1上的點之間的最短距離．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程,坐標系和參數方程

分析：運用參數方程設出橢圓上點P的坐標，由兩點的距離公式，配方化簡整理，令t=cosθ，（-1≤t≤1），則有關于t的函數，討論對稱軸和區間[-1，1]的關系，運用單調性，即可得到最小值．

解答： 解：設橢圓

x2

2

+y²=1上的點P（

2

cosθ，sinθ）（θ為參數），
則|PA|=

( 2 cosθ-a)2+sin2θ

=

cos2θ-2 2 acosθ+a2+1

令t=cosθ，（-1≤t≤1），
則|PA|=

t2-2 2 at+a2+1

=

(t- 2 a)2+1-a2

，
當

2

a≤-1，即有a≤-

2

2

時，[-1，1]為減區間，則t=-1取最小，且為

2+2 2 a+a2

=|a+

2

|；
當-1＜

2

a＜1，即-

2

2

＜a＜

2

2

時，1-a²＞0，則t=

2

a，取得最小值，且為

1-a2

；
當

2

a≥-1，即有a≥-

2

2

時，[-1，1]為增區間，則t=1取最小，且為

2-2 2 a+a2

=|a-

2

|．
綜上，當a≤-

2

2

時，|PA|最小為|a+

2

|；-

2

2

＜a＜

2

2

時，|PA|最小為

1-a2

；
a≥-

2

2

時，|PA|最小為|a-

2

|．

點評：本題考查橢圓的參數方程和運用，考查三角函數的值域及二次函數在閉區間上的最值問題，注意討論對稱軸和區間的關系，屬于中檔題．