Question

如圖,直線l:y=x+b與拋物線C:x²=4y相切于點A.

(1)求實數b的值.
(2)求以點A為圓心,且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

Answer 1

(1) b=-1   (2) (x-2)²+(y-1)²=4

(1)由得x²-4x-4b=0　(*)
因為直線l與拋物線C相切,所以Δ=(-4)²-4×(-4b)=0.解得b=-1.
(2)由(1)可知b=-1,故方程(*)為x²-4x+4=0.
解得x=2,代入x²=4y,得y=1,故點A(2,1).
因為圓A與拋物線C的準線相切,
所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離,
即r=|1-(-1)|=2,
所以圓A的方程為(x-2)²+(y-1)²=4.