Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[

1

2

，

5

2

]時，求函數y=f（x-1）+f（x）的值域．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由函數圖象可得A，可求T，從而可求ω，由f（

2

3

）=2sin（

π

2

×

2

3

+φ）=2，又0＜φ＜

π

2

，可求φ的值，從而解得函數f（x）的解析式；
（2）由三角函數的恒等變換化簡求得解析式y=

2

sin（

π

2

x-

π

12

），由x∈[

1

2

，

5

2

]，可解得函數y=f（x-1）+f（x）的值域．

解答： 解：（1）由圖，A=2，

T

4

=

2

3

-(-

1

3

)=1，
得T=4，ω=

π

2

，
則f(x)=2sin(

π

2

x+

π

6

)，…（3分）
由f（

2

3

）=2sin（

π

2

×

2

3

+φ）=2，
得sin(

π

3

+φ)=1，
所以

π

3

+φ=2kπ+

π

2

(k∈Z)，
又0＜φ＜

π

2

，
得φ=

π

6

，
所以f(x)=2sin(

π

2

x+

π

6

)；          …（7分）
（2）y=f(x-1)+f(x)=2sin(

π

2

x+

π

6

)-2cos(

π

2

x+

π

6

)=2

2

sin(

π

2

x-

π

12

)，…（10分）
因為x∈[

1

2

，

5

2

]，
故

π

6

≤

π

2

x-

π

12

≤

7π

6

，
則-

1

2

≤sin(

π

2

x-

π

12

)≤1，即-

2

≤f(x)≤2

2

，
所以函數y=f（x-1）+f（x）的值域為[-

2

，2

2

]．                …（12分）

點評：本題主要考查了由部分圖象求函數解析式的解法，考查了三角函數恒等變換，正弦函數的圖象和性質，屬于中檔題．