Question

（2012•杭州二模）已知函數f(x)=ax3+

1

2

x2在x=-1處取得極大值，記g（x）

1

f′(x)

．某程序框圖如圖所示，若輸出的結果S＞

2011

2012

，則判斷框中可以填入的關于n的判斷條件是（　　）

A．n≤2011？

B．n≤2012？

C．n＞2011？

D．n＞2012？

Answer 1

分析：由f（x）在x=-1處取得極大值可得f′（-1）=0，由此可求得a值，則g（x）=

1

f′(x)

=

1

x2+x

，g（n）=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，輸出的結果S=g（1）+g（2）+…+g（n）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，令S＞

2011

2012

可得n＞2011，即n=2012時S開始大于

2011

2012

，結合選項可得答案．

解答：解：f′（x）=3ax²+x，
因為f（x）在x=-1處取得極大值，
所以f′（-1）=0，即3a-1=0，解得a=

1

3

，
故f′（x）=x²+x，則g（x）=

1

f′(x)

=

1

x2+x

，
g（n）=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，
該循環結構為當型循環結構，選項C、D顯然不正確，
輸出的結果S=g（1）+g（2）+…+g（n）=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
由S＞

2011

2012

，得

n

n+1

＞

2011

2012

，解得n＞2011，
所以n=2012時S開始大于

2011

2012

，
故判斷框中可以填入的關于n的判斷條件為：n≤2012？，
故選B．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件及程序框圖，考查學生對題目的閱讀理解能力及解決問題的能力．