Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點是曲線上的動點，點在的延長線上，且，點的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標方程；

（2）若射線與直線交于點，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）直線l的極坐標方程為.的極坐標方程為

（2）

【解析】

（1）消參可得直線的普通方程，再利用公式把極坐標方程與直角坐標方程進行轉化，從而得到直線的極坐標方程；利用相關點法求得曲線的極坐標方程；

（2）利用極坐標中極徑的意義求得長度，再把所求變形成正弦型函數，進一步求出結果．

（1）消去直線l參數方程中的t，得，

由，得直線l的極坐標方程為，

故．

由點Q在OP的延長線上，且，得，

設，則，

由點P是曲線上的動點，可得，即，

所以的極坐標方程為．

（2）因為直線l及曲線的極坐標方程分別為，，

所以，，

所以，

所以當時，取得最大值，為．