Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(2) 或，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

【解析】分析：（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）對(duì)分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象以及零點(diǎn)存在定理可得，或，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，

令，得，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，易知

所以函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，令，

得，，且，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

由，知，

所以，

則，

因?yàn)?/span>，

所以

所以

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?/span>

令，得，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

令，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

①當(dāng)時(shí)，，而，，

由單調(diào)性知，

所以內(nèi)存在零點(diǎn)，即函數(shù)在定義內(nèi)有個(gè)兩點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，，而，，

同理內(nèi)存在零點(diǎn)，

即函數(shù)值定義域內(nèi)存在個(gè)零點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)

綜上：或，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，

或時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)