Question

設0≤x≤2，求函數y=4x-

1

2

-2x-1+5的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先化簡，然后利用換元法令t=2^x根據變量x的范圍求出t的范圍，將原函數轉化成關于t的二次函數，最后根據二次函數的性質求在閉區間上的最值即可．

解答：解：y=2^2x-1-2^x-1+5=

1

2

•（2^x）²-

1

2

•2^x+5．
令t=2^x，則y=

1

2

t²-

1

2

t+5=

1

2

（t-

1

2

）²+

39

5

．
∵0≤x≤2，∴t=2^x∈[1，4]．
又∵對稱軸t=

1

2

，所以y=

1

2

t²-

1

2

t+5在[1，4]上單調遞增，
所以當t=1即x=0時，y_min=5；當t=4即x=2時，y_max=

1

2

×4²-

1

2

×4+5=11．

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及利用換元法轉化成二次函數求解值域的問題，屬于基礎題．