Question

求a的取值范圍，使方程log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）=1有實根．

Answer 1

分析：log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）等價于

x-3

(x+2)(x-1)

=a，即ax²+（a-1）x+3-2a=0，故方程ax²+（a-1）x+3-2a=0，
a＞0且a≠1有實根的充要條件是

(a-1)2-4a(3-2a)≥0 a＞0 a≠1

，由此可以求出a的取值范圍．

解答：解：∵log_a（x-3）-log_a（x+2）-log_a（x-1）=1，∴loga

x-3

(x+2)(x-1)

=1，∴

x-3

(x+2)(x-1)

=a，∴ax²+（a-1）x+3-2a=0．∵a是對數的底，∴a＞0，且a≠1．
方程ax²+（a-1）x+3-2a=0，a＞0且a≠1有實根的充要條件是

(a-1)2-4a(3-2a)≥0 a＞0 a≠1

，
解得a≥

7+2 10

9

或0＜a≤

7-2 10

9

．
故a的取值范圍是{a|a≥

7+2 10

9

或0＜a≤

7-2 10

9

}．

點評：本題是對數函數的綜合題，解題時要注意對數的運算法則，想辦法把對數方程有實根的問題等價轉化為一元二次方程有實根的問題．