Question

已知函數f(x)=

3

sinπx+cosπx，x∈R．
（1）求函數f（x）的最大值和最小值；
（2）設函數f（x）在[-1，1]上的圖象與x軸的交點從左到右分別為M、N，圖象的最高點為P，求

PM

與

PN

的夾角的余弦．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式 化簡函數的解析式為f（x）=2sin(πx+

π

6

)，根據-1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
 求得函數f（x）的最大值和最小值．
 （2）令f(x)=2sin(πx+

π

6

)=0，求出M、N兩點的坐標，由sin(πx+

π

6

)=1，求出點P的坐標，
由 cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

 求得結果．

解答：解：（1）∵f(x)=

3

sinπx+cosπx=2(

3

2

sinπx+

1

2

cosπx)
=2sin(πx+

π

6

)．
∵x∈R，∴-1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
∴函數f（x）的最大值和最小值分別為2，-2．
（2）令f(x)=2sin(πx+

π

6

)=0，得πx+

π

6

=kπ，k∈Z，
∵x∈[-1，1]，∴x=-

1

6

，或x=

5

6

，∴M(-

1

6

，0)，N(

5

6

，0)，
由sin(πx+

π

6

)=1，且x∈[-1，1]得 x=

1

3

，∴P(

1

3

，2)，
∴

PM

=(-

1

2

，-2)，

PN

=(

1

2

，-2)，從而  cos＜

PM

，

PN

＞=

PM • PN

| PM |•| PN |

=

15

17

．

點評：本題考查兩角和差的正弦公式，三角函數的最值，兩個向量夾角公式的應用，求出M、N兩點的坐標，是解題的難點．