Question

某工廠在政府的幫扶下，準備轉型生產一種特殊機器，生產需要投入固定成本500萬 元，生產與銷售均以百臺計數，且每生產100臺，還需增加可變成本1000萬元．若市場對該 產品的年需求量為500臺，每生產m百臺的實際銷售收入近似滿足函數R（m）=5000m-500m²（0≤m≤5，m∈N）
（I）試寫出第一年的銷售利潤y（萬元）關于年產量x單位：百臺，x≤5，x∈N^*）的函數關系式；
（說明：銷售利潤=實際銷售收人一成本）
（II ）因技術等原因，第一年的年生產量不能超過300臺，若第一年人員的年支出費用u（x）（萬元）與年產量x（百臺）的關系滿足u（x）=500x+500（x≤3，x∈N^*，問年產量X為多少百臺時，工廠所得純利潤最大？

Answer 1

解：（Ⅰ），由題意可得，y=5000x-500x²-500-1000x，
即y=-500x²+4000x-500，（x≤5，x∈N^*）．
（Ⅱ）設工廠所得純利潤為h（x），則
h（x）=-500x²+4000x-500-u（x）
=-500x²+3500x-1000
=（x≤3，x∈N^*）．
∴當x=3時，函數h（x）取得最大值h（3）=5000．
當年產量為3百臺時，工廠所得純利潤最大，最大利潤為5000萬元．
分析：（Ⅰ）利用銷售利潤=實際銷售收人一成本，成本=固定成本+增加成本，即可得出；
（Ⅱ）利用工廠所得純利潤=工廠銷售利潤-人員的年支出費用，及二次函數的單調性即可得出．
點評：正確理解銷售利潤=實際銷售收人一成本、成本=固定成本+增加成本、工廠所得純利潤=工廠銷售利潤-人員的年支出費用、二次函數的單調性是解題的關鍵．