Question

（2013•成都一模）某工廠在政府的幫扶下，準備轉型生產一種特殊機器，生產需要投入固定成本500萬 元，年生產與銷售均以百臺計數，且每生產100臺，還需增加可變成本1000萬元．若市場對 該產品的年需求量為500臺，每生產m百臺的實際銷售收人近似滿足函數R（m）=5000m-500m²（0≤m≤5，m∈N）
（I）試寫出第一年的銷售利潤y（萬元）關于年產量單位x百臺，x≤5，x∈N^*）的函數關系式；
（II）若工廠第一年預計生產機器300臺，銷售后將分到甲、乙、丙三個地區各100臺，因技術、運輸等原因，估計每個地區的機器中出現故障的概率為

1

5

．出現故障后，需要廠家上門調試，每個地區調試完畢，廠家需要額外開支100萬元．記廠家上門調試需要額外開支的費 用為隨機變量ξ，試求第一年廠家估計的利潤．
（說明：銷售利潤=實際銷售收入一成本；估計利潤=銷售利潤一ξ的數學期望）

Answer 1

分析：（I）由已知，可分別計算出年產量單位x百臺時，的銷售收入及成本，進而根據銷售利潤=銷售收入-成本得到銷售利潤y（萬元）關于年產量單位x百臺，x≤5，x∈N^*的函數關系式；
（II）由已知可計算隨機變量ξ的數學期望，進而根據估計利潤=銷售利潤一ξ的數學期望，得到第一年廠家估計的利潤

解答：解：（I）∵每生產m百臺的實際銷售收人近似滿足函數R（m）=5000m-500m²萬元，
故產量單位x百臺時，實際銷售收人約為5000x-500x²萬元，
又∵生產需要投入固定成本500萬 元，每生產100臺，還需增加可變成本1000萬元．
故成本=500+1000x萬元．
故y=5000x-500x²-（500+1000x）=-500x²+4000x-500，（x≤5，x∈N^*）
（2）∵工廠第一年預計生產機器300臺，銷售后將分到甲、乙、丙三個地區各100臺，因技術、運輸等原因，估計每個地區的機器中出現故障的概率為

1

5

．
故ξ～B（3，

1

5

）
∴Eξ=np=

3

5

即廠家上門調試需要額外開支的費用的平均值為100Eξ=60萬元
故第一年廠家估計的利潤為y=-500×3²+4000×3-500-60=6940萬元

點評：本題考查的知識點是函數在實際中的應用，數學期望，其中（1）的關鍵是分析出銷售利潤=銷售收入-成本，（2）的關鍵是分析出估計利潤=銷售利潤一ξ的數學期望．