Question

數列滿足：，（其中表示的整數部分，），試求的值.

Answer 1

解析：觀察數列開初的一些項：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1	1	1	1	2	2	2	3	3	4	4	4	5	5	6	6	7	7	8	8	8
	1	2	3	4	6	8	10	13	16	20	24	28	33	38	44	50	57	64	72	80	88

我們注意到，數列嚴格單增，每個正整數，順次在數列中出現，并且除了首項之外，每個形如的數連續出現三次，其它數各連續出現兩次.…5 分

一般地，我們可證明數列的以下性質：

（1）若記，則,

（2） 若記則當時，有 …10分

對歸納.據上面所列出的項可知，當時結論成立.設性質對于成立，即在時，，則

再對滿足的歸納：

當時，由于，則，

因為，則

設當時，均有，則當時，因為

…①

則，

即有，所以

由于

所以

故由歸納法，當時，

特別是，當時，上式成為②

又由①，當，有

所以③

由②③可知，對于當時，亦有

，從而性質成立.    …………………15分

因為，取，則，，

因此.     …………………20分