Question

【題目】已知橢圓的中心在坐標原點，其短半軸長為，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上的點，且．

證明：直線與圓相切；

求面積的最小值．

Answer 1

【答案】證明見解析；1.

【解析】

由題意可得橢圓的方程為，由點在直線上，且知的斜率必定存在，分類討論當的斜率為時和斜率不為時的情況列出相應式子，即可得出直線與圓相切；

由知，的面積為

解：由題意，橢圓的焦點在軸上，且，所以．

所以橢圓的方程為．

由點在直線上，且知的斜率必定存在，

當的斜率為時，，，

于是，到的距離為，直線與圓相切．

當的斜率不為時，設的方程為，與聯立得，

所以，，從而．

而，故的方程為，而在上，故，

從而，于是．

此時，到的距離為，直線與圓相切．

綜上，直線與圓相切．

由知，的面積為

，

上式中，當且僅當等號成立，

所以面積的最小值為1．