Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）利用空間向量研究線面角，首先建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組求面的法向量，最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值的絕對(duì)值，也是線面角的正弦值（2）利用空間向量研究二面角，首先建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組求兩個(gè)平面的法向量，最后利用向量數(shù)量積求夾角余弦值，根據(jù)圖形確定二面角的大小的余弦值與夾角余弦值之間關(guān)系.

試題解析：因?yàn)樵谥比�棱�?/span>中，，所以分別以、、所在的直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以，

（1）因?yàn)?/span>，設(shè)平面的法向量，

則，即，取，

所以平面的法向量，而，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為；

（2），，設(shè)平面的法向量，

則，即，取，平面的法向量，

所以，

二面角的大小的余弦值．