Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數）．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若設2（e+ ）＜a＜ ，且f（x）有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），求f（x1）﹣f（x2）取值范圍．（其中e為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x2﹣ax+2lnx（其中a是實數），

∴f（x）的定義域為（0，+∞）， = ，

令g（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16，對稱軸x= ，g（0）=2，

當△=a2﹣16≤0，即﹣4≤a≤4時，f′（x）≥0，

∴函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間．

當△=a2﹣16＞0，即a＜﹣4或a＞4時，

①若a＜﹣4，則f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無減區間．

②若a＞4，令f′（x）=0，得 ， ，

當x∈（0，x1）∪（x2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（x1，x2）時，f′（x）＜0．

∴f（x）的單調遞增區間為（0，x1），（x2，+∞），單調遞減區間為（x1，x2）．

綜上所述：當a≤4時，f（x）的單調遞增區間為（0，+∞），無單調遞減區間．

當a＞4時，f（x）的單調遞增區間為（0，x1）和（x2，+∞），單調遞減區間為（x1，x2）

（2）解：由（1）知，若f（x）有兩個極值點，則a＞4，且x1+x2= ＞0，x1x2=1，∴0＜x1＜1＜x2，

又∵ ，a=2（ ）， ，e+ ＜ ＜3+ ，

又0＜x1＜1，解得 ．

∴f（x1）﹣f（x2）=（ ）﹣（ ）

=（ ）﹣a（x1﹣x2）+2（lnx1﹣lnx2）

=（x1﹣x2） ﹣a（x1﹣x2）+2ln

=﹣（ ）（x1+ ）+4lnx1

= ，

令h（x）= ，（ ），

則 ＜0恒成立，

∴h（x）在（ ）單調遞減，∴h（ ）＜h（x）＜h（ ），

即 ﹣4＜f（x1）﹣f（x2）＜ ﹣4ln3，

故f（x1）﹣f（x2）的取值范圍為（ ， ）

【解析】（1）求出f（x）的定義域為（0，+∞）， = ，由此利用導數性質和分類討論思想能求出f（x）的單調區間．（2）推導出f（x1）﹣f（x2）= ，令h（x）= ，（ ），則 ＜0恒成立，由此能求出f（x1）﹣f（x2）的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．