Question

【題目】已知拋物線E：y2=4x，設(shè)A、B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 = （其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（Ⅱ）過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G、D兩點(diǎn)，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)直線AB的方程為：x=my+t，A（ ，y1）、B（ ，y2），
聯(lián)立 得y2﹣4my﹣4t=0，則y1+y2=4m，與y1y2=﹣4t，
由 得： y1y2=﹣18或y1y2=2（舍）．
即 ，所以直線AB過定點(diǎn) ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 = ，
同理得， = ，
則四邊形AGBD面積
= ，
令 ，
則 是對(duì)稱軸為μ＜0，開口向上，函數(shù)是關(guān)于μ的增函數(shù)，當(dāng)μ=2時(shí)函數(shù)取得最小值．
故Smin=88．
當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)取到最小值88
【解析】（Ⅰ）設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用數(shù)量積為0，求出k，化簡(jiǎn)直線方程推出直線必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（Ⅱ）利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，表示出三角形的面積，通過換元法，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最小值即可．