Question

【題目】已知各項都為正數的數列{an}滿足a1=1，an2﹣（2an﹣1﹣1）an﹣2an﹣1=0（n≥2，n∈N*），數列{bn}滿足b1=1，b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*）
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{anbn}的前n項和為Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 變形可得（an﹣2an﹣1）（an+1）=0， 即有an=2an﹣1或an=﹣1，
又由數列{an}各項都為正數，則有an=2an﹣1 ，
故數列{an}是首項為a1=1，公比為2的等比數列，則
由題意知，當n=1時，b1=b2﹣1，故b2=2，
當n≥2時， ，
和b1+ b2+ b3+…+ bn=bn+1﹣1（n∈N*）
作差得， ，整理得： ，∴ =1，∴bn=n
∴ ；bn=n，n∈N*
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，
因此 ，
∴ ，
兩式作差得：
【解析】（Ⅰ）推出數列{an}是等比數列，然后求解通項公式，利用作差法，然后求解{bn}的通項公式；（Ⅱ）化簡通項公式，利用錯位相減法求和即可．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．