Question

函數y=f（x）在區間（0，+∞）內可導．導函數f^′（x）是減函數，且f^′（x）＞0，x₀∈（0，+∞）．g（x）=kx+m是y=f（x）在點（x₀，f（x₀））處的切線方程．
（1）用x₀，f（x₀），f^′（x₀）表示m；
（2）證明：當x∈（0，+∞）時，g（x）≥f（x）；
（3）若關于x的不等式x2+1≥ax+b≥

3

2

x

2

3

在（0，+∞）上恒成立，其中a，b為實數，求b的取值范圍及a，b所滿足的關系．

Answer 1

分析：（1）先利用點斜式表示出切線方程，然后根據切線方程與y=kx+m是同一直線建立等式關系，求出m即可；
（2）比較g（x）與f（x）的大小可利用作差比較，構造函數h（x）=g（x）-f（x），然后利用導數研究函數h（x）的單調性，求出函數h（x）的最小值，即可證得結論．
（3）把ax移到兩邊，再求最值，即可得出b的取值范圍及a，b所滿足的關系

解答：解：（1）y-f（x₀）=f'（x₀）（x-x₀）
∴m=f（x₀）-x₀f'（x₀）．
（2）證明：令h（x）=g（x）-f（x），則h'（x）=f'（x₀）-f'（x），h'（x₀）=0．
因為f'（x）遞減，所以h'（x）遞增，因此，當x＞x₀時，h'（x）＞0；
當x＜x₀時，h'（x）＜0．所以x₀是h（x）唯一的極值點，且是極小值點，
可知h（x）的最小值為0，因此h（x）≥0，即g（x）≥f（x）．
（3）把ax移到兩邊得x2+1-ax≥b≥

3

2

x

2

3

-ax
令y₁=x²+1-ax，y2=

3

2

x

2

3

-ax則

y

/ 2

=x-

1

3

-a
①

a

2

＜0時，（y₁）_min=1，（y₂）_max=0，∴1≥b≥0
②

a

2

≥0時，(y1) min=1-

a2

4

，(y2) max=

1

2a2

，
∴1-

a2

4

≥b≥

1

2a2

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．