Question

已知橢圓：．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為和，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為和，知2a=4，2c=2，由此能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等．當P在y軸上時，R在x軸上，PR方程為，．當P在x軸上時，R在y軸上，PR方程為，．當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、，P在橢圓上，，R在橢圓上，．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得．故當d=1時，有．
解答：解：（Ⅰ）∵橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為和，
∴2a=4，a=2，2c=2，c=，
∴橢圓的方程：
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等
（1）當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為，d=1⇒．
（2）當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，d=1⇒．
（3）當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、
P在橢圓上，①；
R在橢圓上，②
利用Rt△POR可得 d|PR|=|OP|•|OR|
即
整理得 ．再將①②代入，得
綜上當d=1時，有．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意分類討論思想的合理運用．