【題目】如圖，四棱錐
的底面是菱形，
底面
，
分別是
的中點，
，
，
.
（I）證明：
；
（II）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（III）在
邊上是否存在點
，使
與
所成角的余弦值為
，若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.
【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）
； （Ⅲ）見解析.
【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合幾何關系可證得
平面
，據(jù)此證明題中的結(jié)論即可；
(Ⅱ)建立空間直角坐標系，求得直線
的方向向量與平面的一個法向量，然后求解線面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假設滿足題意的點
存在，設
，由直線
與
的方向向量得到關于
的方程，解方程即可確定點F的位置.
(Ⅰ)由菱形的性質(zhì)可得：
，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可知：
，故
，
底面
，
底面，故
，
且
，故平面，
平面，
(Ⅱ)由題意結(jié)合菱形的性質(zhì)易知
，
，
，
以點O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
則：
，
設平面的一個法向量為
,
則：
，
據(jù)此可得平面的一個法向量為
，
而
，
設直線與平面所成角為
，
則
.
(Ⅲ)由題意可得：
，假設滿足題意的點存在，
設
，，
據(jù)此可得：
，即：
,
從而點F的坐標為
，
據(jù)此可得：
,
，
結(jié)合題意有：
，解得：
.
故點F為
中點時滿足題意.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某班50名學生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?/span>13秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組
，第二組
，
，第五組
.下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
（1）若成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；
（2）設m,n表示該班某兩位同學的百米測試成績，且已知
求事件“
”發(fā)生的概率.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】有下列幾個命題：①若
，則
；②“若
，則
互為相反數(shù)”的否命題“；③“若
則
”的逆命題；④“若
，則互為倒數(shù)”的逆否命題. 其中真命題的序號__________.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4（a＞0）及直線l：x﹣y+3＝0．當直線l被圓C截得的弦長為
時，求
（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）求過點（3，5）并與圓C相切的切線方程．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦距為
分別為橢圓
的左、右頂點，
為橢圓上的兩點(異于
)，連結(jié)
，且
斜率是
斜率的
倍.
（1）求橢圓的方程；
（2）證明:直線
恒過定點.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某地統(tǒng)計局調(diào)查了10000名居民的月收入，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制了樣本的頻率分布直方圖如圖所示。
（1）求居民月收入在[3000,3500）內(nèi)的頻率；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
（3）為了分析居民的月收入與年齡、職業(yè)等方面的關系，必須按月收入再從這10000中用分層抽樣的方法抽出100人做進一步分析，則應從月收入在[2500,3000)內(nèi)的居民中抽取多少人？
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=
，（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an，
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=（3n﹣1）
an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若不等式（﹣1）nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知
是橢圓
的一個頂點，
的短軸是圓
的直徑，直線
，
過點P且互相垂直，交橢圓于另一點D，交圓
于A，B兩點
Ⅰ
求橢圓的標準方程；
Ⅱ求
面積的最大值．
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