Question

設(shè)橢圓M：＝1(a>)的右焦點(diǎn)為F1，直線l：x＝與x軸交于點(diǎn)A，若＝2 (其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))．

(1)求橢圓M的方程；

(2)設(shè)P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，EF為圓N：x2＋(y－2)2＝1的任意一條直徑(E，F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn))，求·的最大值．

 

Answer 1

（1）＝1（2）11

【解析】(1)由題設(shè)知，A，F1，

由＝2，得＝2，

解得a2＝6.所以橢圓M的方程為M：＝1.

(2)設(shè)圓N：x2＋(y－1)2＝1的圓心為N，

則·＝(－)·(－)＝(－－)·(－)＝2－2＝2－1.

從而求·的最大值轉(zhuǎn)化為求2的最大值．

因?yàn)?/span>P是橢圓M上的任意一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)，

所以＝1，

即＝6－3，因?yàn)辄c(diǎn)N (0,2)，

所以2＝＋(y0－2)2＝－2(y0＋1)2＋12.

因?yàn)?/span>y0∈[－，]，所以當(dāng)y0＝－1時(shí)，2取得最大值12.所以·的最大值為11.