Question

設數列{an}：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，…，即當<n≤(k∈N*)時，an＝(－1)k－1k，記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．對于l∈N*，定義集合Pl＝{n|Sn是an的整數倍，n∈N*，且1≤n≤l}．

(1)求集合P11中元素的個數；

(2)求集合P2 000中元素的個數．

 

Answer 1

(1)5 (2) 1 008

【解析】

解　(1)由數列{an}的定義得a1＝1，a2＝－2，a3＝－2，a4＝3，a5＝3，a6＝3，a7＝－4，a8＝－4，a9＝－4，a10＝－4，a11＝5，所以S1＝1，S2＝－1，S3＝－3，S4＝0，S5＝3，S6＝6，S7＝2，S8＝－2，S9＝－6，S10＝－10，S11＝－5，從而S1＝a1，S4＝0×a4，S5＝a5，S6＝2a6，S11＝－a11，所以集合P11中元素的個數為5.

(2)先證：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N*)．

事實上，①當i＝1時，Si(2i＋1)＝S3＝－3，－i(2i＋1)＝－3，故原等式成立；

②假設i＝m時成立，即Sm(2m＋1)＝－m(2m＋1)，則i＝m＋1時 ，S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)－4m－3＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)．

綜合①②可得Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．于是

S(i＋1)(2i＋1)＝Si(2i＋1)＋(2i＋1)2＝－i(2i＋1)＋(2i＋1)2＝(2i＋1)(i＋1)．

由上可知Si(2i＋1)是2i＋1的倍數，而ai(2i＋1)＋j＝2i＋1(j＝1,2，…，2i＋1)，所以Si(2i＋1)＋j＝Si(2i＋1)＋j(2i＋1)是ai(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋1)的倍數．又S(i＋1)(2i＋1)＝(i＋1)·(2i＋1)不是2i＋2的倍數，而a(i＋1)(2i＋1)＋j＝－(2i＋2)(j＝1,2，…，2i＋2)，所以S(i＋1)(2i＋1)＋j＝S(i＋1)(2i＋1)－j(2i＋2)＝(2i＋1)(i＋1)－j(2i＋2)不是a(i＋1)(2i＋1)＋j(j＝1,2，…，2i＋2)的倍數，故當l＝i(2i＋1)時，集合Pl中元素的個數為1＋3＋…＋(2i－1)＝i2，于是，當l＝i(2i＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)時，集合Pl中元素的個數為i2＋j.

又2 000＝31×(2×31＋1)＋47，故集合P2 000中元素的個數為312＋47＝1 008.