Question

已知函數(shù)f（x）=

-2x2+2x， x≤1 1 x -1， x＞1

，若對任意x∈R，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出y=f（x）-|x-1|，在直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f（x）-|x-1|和y=|x-k|的圖象，討論k=1，k=

1

2

，兩圖象的關(guān)系，運(yùn)用作差比較即可判斷；再由圖象平移，通過觀察即可判斷k＞1或k＜

1

2

也成立，即可得到k的范圍．

解答： 解：y=f（x）-|x-1|=

-2x2+3x-1，x≤1 1 x -x，x＞1

，
在直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f（x）-|x-1|和y=|x-k|的圖象，
①當(dāng)k=1時，它們都過（1，0），當(dāng)x＜1時，y=|x-1|=1-x，
y=f（x）-|x-1|=-2x²+3x-1，由1-x-（-2x²+3x-1）=2x²-4x+2
=2（x-1）²＞0，則有x≤1時，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，x＞1由圖象可得f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立；
②當(dāng)k=

1

2

時，它們都過（

1

2

，0），當(dāng)x＞

1

2

，y=|x-

1

2

|=x-

1

2

，
由于x＞1時，f（x）＜0，只要考慮

1

2

＜x＜1，y=f（x）-|x-1|=-2x²+3x-1，
由x-

1

2

-（-2x²+3x-1）=2x²-2x+

1

2

=2（x-

1

2

）²＞0，則有

1

2

＜x＜1，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，
x＞1或x＜

1

2

時，由圖象可得，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立，
則k=1，

1

2

時，對任意x∈R，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立；
③當(dāng)k＞1或k＜

1

2

時，由圖象平移可得，對任意x∈R，f（x）-|x-k|-|x-1|≤0恒成立．
綜上可得，k的取值范圍為k≥1或k≤

1

2

．
故答案為：（-∞，

1

2

]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查圖象的平移規(guī)律，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．