Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=BB1=1，B1C=2．

（1）求證：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（2）求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由直三棱柱性質，B1B⊥平面ABC；

∴B1B⊥AC；

又AB⊥AC，B1B∩BA=B；

∴AC⊥平面ABB1A1，AC平面B1AC；

∴平面B1AC⊥平面ABB1A1；

（2）解：如圖，連接A1B交AB1于M，連接CM；

∵AB=BB1；

∴A1B1=AA1；

∴A1M⊥AB1；

∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A；

∴A1M⊥平面B1AC；

∴∠A1CM為直線A1C與平面B1AC所成的角；

∵AB=BB1=1，B1C=2；

∴BC= ，AC= ；

∴ ；

∴ ；

∴直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）根據直三棱柱的定義便可得到AC⊥B1B，再根據條件AC⊥AB便可得出AC⊥平面ABB1A1 ， 從而由面面垂直的判定定理即可得出平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）可連接A1B，設交AB1于M，可得到A1M⊥AB1 ， 從而由面面垂直的性質定理得到A1M⊥平面B1AC，這樣∠A1CM便是直線A1C與平面B1AC所成的角，根據條件便可求出A1M和A1C的長，由 即可得出直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則即可以解答此題．