Question

已知曲線f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）與直線x=1交于點(diǎn)P，若設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值為

-1

．

Answer 1

分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求切線的斜率k，可得過(guò)（1，1）的切線方程，在切線方程中令y=0，可得x_n，然后根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=（n+1）xⁿ，
設(shè)過(guò)（1，1）的切線斜率k，則k=f′（1）=n+1，
∴切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x_n=

n

n+1

，
∴x₁•x₂…x₂₀₁₀=

1

2

×

2

3

×…×

2010

2011

=

1

2011

，
∴l(xiāng)og₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀
=log₂₀₁₁（x₁×x₂×…×x₂₀₁₀）
=log2011

1

2011

=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過(guò)某一定點(diǎn)的切線方程，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．