Question

已知數列
⑴求證：為等差數列；
⑵求的前n項和；
⑶若，求數列中的最大值.

Answer 1

⑴見解析；⑵S_n= (n－1)·2ⁿ⁺¹＋2；⑶最大值為b₁=0.5.

試題分析：⑴利用等差數列的定義，研究為定值；
⑵由⑴進一步得，利用“錯位相減法”求和.
根據S_n=1·2¹＋2·2²＋3·2³＋ ＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ
2S_n=1·2²＋2·2³＋3·2³＋ ＋(n－1)·2ⁿ＋n·2ⁿ⁺¹
兩式相減得：－S_n=2¹＋2²＋2³＋ ＋2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹ =
⑶由 
研究，得到推出{b_n}為遞減數列
數列{b_n}中的最大值為b₁.
試題解析：⑴∵
∴
∴為等差數列，首項為，公差d=1           (4分)
⑵由⑴得   ∴                 (6分)
∴S_n=1·2¹＋2·2²＋3·2³＋ ＋(n－1)·2^n－1＋n·2ⁿ
2S_n=1·2²＋2·2³＋3·2³＋ ＋(n－1)·2ⁿ＋n·2ⁿ⁺¹
兩式相減得：－S_n=2¹＋2²＋2³＋ ＋2ⁿ－n·2ⁿ⁺¹
=
∴S_n=2－2ⁿ⁺¹＋n·2ⁿ⁺¹=(n－1)·2ⁿ⁺¹＋2        (10分)
⑶ 
∴  ∴(12分)
又∵2(2n²＋n－1)－(2n²＋n)=2n²＋n－2
當n≥1時，2n²＋n－2>0  ∴2(2n²＋n－1)>2n²＋n>0
∴即b_n＋1<b_n
∴{b_n}為遞減數列                                    (14分)
數列{b_n}中的最大值為b₁=0.5