Question

已知函數(shù)的定義域為，若在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”.我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數(shù)，若且，求實數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)已知，且的部分函數(shù)值由下表給出，

 求證：；
(Ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數(shù)，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）(Ⅱ)見解答(Ⅲ).

解析試題分析：（I）理解且的意義,代入后利用函數(shù)的性質求解; (Ⅱ)通過表格得到 ，再運用為增函數(shù)建立不等式，導出，運用 即可. (Ⅲ)判斷 即運用反證法證明,如果使得則利用即為增函數(shù)一定可以找到一個，使得，對成立;同樣用反證法證明證明在上無解;從而得到，對成立,即存在常數(shù)，使得，，有成立,選取一個符合條件的函數(shù)判斷 的最小值是 ,由上面證明結果確定 即是符合條件的所有函數(shù)的結果.
試題解析：（I）因為且，
即在是增函數(shù)，所以        2分
而在不是增函數(shù)，而 
當是增函數(shù)時，有，所以當不是增函數(shù)時，.
綜上得       4分
(Ⅱ) 因為，且 
所以，
所以，
同理可證，
三式相加得 
所以                                                    6分
因為所以 
而，所以 
所以                                          8分
(Ⅲ) 因為集合 且存在常數(shù) ,使得任取 
所以，存在常數(shù) ，使得  對成立
我們先證明對