Question

定義在R上的單調函數滿足且對任意都有．
(1)求證為奇函數；
(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1)證明：利用“賦值法”，確定f(0)=0，再
計算f(x)+f(-x)=0．
(2) t=3＞0，換元后，問題等價于t-(1+k)t+2＞0
假設，當時，對任意恒成立．

解析試題分析：
思路分析：(1)證明：利用“賦值法”，確定f(0)=0，再
計算f(x)+f(-x)=0．
(2) t=3＞0，換元后，問題等價于t-(1+k)t+2＞0
假設，應用二次函數的圖象和性質進一步求解。
(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)    (x，y∈R)， ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，
則有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函數．
(2)解：＞0，即f(3)＞f(0)，又在R上是單調函數，
所以在R上是增函數
又由(1)f(x)是奇函數．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，
∴ k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．
令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0
對任意t＞0恒成立．
令，其對稱軸
當即時，符合題意；
當時，對任意，恒成立
解得
綜上所述，當時，對任意恒成立．
考點：函數的單調性，指數函數的性質，二次函數的圖象和性質。
點評：中檔題，本題涉及抽象函數問題，一般要考慮應用“賦值法”，確定所需數據。本題通過換元，將問題轉化成二次函數的圖象和性質應用問題，具有“化生為熟”的示范作用。