Question

已知函數(shù).
（1）當 時，求在處的切線方程；
（2）設函數(shù)，
（ⅰ）若函數(shù)有且僅有一個零點時，求的值；
（ⅱ）在（ⅰ）的條件下，若，，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）（i）；（ii）.

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，求出，由此計算與的值，最后利用點斜式寫出相應的切線方程；（2）利用參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象有且僅有一個交點來處理，然后利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而求出的值；（ii）將問題轉(zhuǎn)化為，然后利用導數(shù)研究在區(qū)間上最值，從而確定實數(shù)的取值范圍.
（1）當時，，定義域，
，
，又，
在處的切線方程；
（2）（ⅰ）令，
則，
即，
令，
則，
令，
，
，在上是減函數(shù)，
又，
所以當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
所以當函數(shù)有且僅有一個零點時；
（ⅱ）當，，
若，，只需證明，
，
令，得或，
又，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
又，，
，
即，，.