Question

【題目】已知拋物線的焦點為，直線，過點且與拋物線分別交于點和點，弦和的中點分別為，若，則下列結論正確的是

（______________）

①的最小值為32

②以四點為頂點的四邊形的面積的最小值為128

③直線過定點

④焦點可以同時為弦和的三等分點

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

依題意得直線的斜率均存在，設，，直線，把直線方程和拋物線方程聯立，利用韋達定理和拋物線的定義分別求出的表達式，利用基本不等式求最值即可判斷①；求出四邊形面積的表達式，利用基本不等式求最值即可判斷②；表示出坐標，進而得到直線的方程即可判斷③；假設點為弦的三等分點，不妨設，利用平面向量的坐標表示進行求解，根據能否推出矛盾判斷④即可.

依題意得直線的斜率均存在，且，

設，，直線，

聯立方程，整理可得，

所以，則，

因為，以代替可得，，

所以，

當且僅當時取等號，所以①正確；

因為，所以四邊形的面積，

當且僅當時取等號，所以②正確；

因為，，

所以直線的方程為，

即，恒過定點，故③正確；

若點為弦的三等分點，不妨設，

則，所以，

即，又，

解得（舍去），或，

代入，得，與兩直線垂直矛盾，故④錯誤.

故答案為：①②③