Question

【題目】已知橢圓C：的左右焦點分別為F1，F2，點在橢圓C上，滿足.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）直線l1過點P，且與橢圓只有一個公共點，直線l2與l1的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點P的兩點M，N，與直線x=1交于點K(K介于M，N兩點之間).

①問：直線PM與PN的斜率之和能否為定值，若能，求出定值并寫出詳細計算過程；若不能，請說明理由；

②求證：.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①定值為；②證明見解析

【解析】

（1）設F1 (﹣c,0),F2(c,0),由可求c=1,再把點P的坐標代入橢圓方程結合a2=b2+c2,即可求出a,b,c的值,從而得到橢圓C的標準方程；

（2）①顯然直線l1的斜率存在,設直線l1的方程為：yk(x﹣1),與橢圓方程聯立,利用△=0解出k的值,進而求出直線l2的斜率,設直線l2方程為：y,M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯立,利用韋達定理代入kPM+kPN,化簡可得kPM+kPN=0為定值；②由①知∠MPK=∠NPK,

在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,所以,即|PM||KN|=|PN||KM|成立.

（1）設F1 (﹣c,0),F2(c,0),c>0,則(﹣c﹣1,)(c﹣1,)=1﹣c2,

∴c=1,

∴,解得,

∴橢圓C的標準方程為：；

（2）①顯然直線l1的斜率存在,設直線l1的方程為：yk(x﹣1),即y=k(x﹣1)

聯立方程,消去y得：(4k2+3)x2+(12k﹣8k2)x+(3﹣2k)2﹣12=0,

由題意可知△=(12k﹣8k2)2﹣4×(4k2+3)[(3﹣2k)2﹣12]=0,解得k,

∵直線l2與l1的傾斜角互補,∴直線l2的斜率為,

設直線l2方程為：y,M(x1,y1),N(x2,y2),

聯立方程,整理得x2+tx+t2﹣3=0,

由△=t2﹣4(t2﹣3)>0,得t2<4,

且x1+x2=﹣t,,

∴直線PM與PN的斜率之和kPM+kPN0；

②由①知PMPN關于直線x=1對稱,即∠MPK=∠NPK,

在△PMK和△PNK中,由正弦定理得,

又因為∠MPK=∠NPK,∠PKM+∠PKN=180°,

∴,

∴|PM||KN|=|PN||KM|成立.