Question

 

    已知函數（且）．

    （Ⅰ）當時，求證：函數在上單調遞增；

    （Ⅱ）若函數有三個零點，求t的值；

    （Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，試求a的取值范圍．

注：e為自然對數的底數。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ），

    由于，故當x∈時，lna＞0，a^x﹣1＞0，所以，

    故函數在上單調遞增。        ………………………………………4分

（Ⅱ）當 a＞0，a≠1時，因為 ，且  在R上單調遞增，

    故 有唯一解x=0。

    要使函數  有三個零點，所以只需方程  有三個根，

    即，只要 ，解得t=2；  ………………………………9分

（Ⅲ）因為存在x₁，x₂∈[﹣1,1]，使得，

    所以當x∈[﹣1,1]時，。

    由（Ⅱ）知，，

                。

    事實上，。

    記 （）

    因為 

    所以  在上單調遞增，又。

    所以   當 x＞1 時，；

           當 0＜x＜1 時，，

    也就是當 a＞1時，；

    當 0＜a＜1時，。

    ① 當時，由，得，

                    解得 。

    ②當0＜a＜1時，由，得，

                    解得 。

    綜上知，所求a的取值范圍為。