Question

（2006•上海）已知復數w滿足w-4=（3-2w）i（i為虛數單位），z=

5

w

+|w-2|，求一個以z為根的實系數一元二次方程．

Answer 1

分析：解法一：由復數w滿足w-4=（3-2w）i（i為虛數單位），利用復數的運算法則可得w=2-i；再利用復數的運算法則可得z=3+i，再利用實數系數一元二次方程的虛根成對原理和根與系數的關系即可得出；
解法二：設w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，根據復數相等即可得出w=2-i，以下同解法一．

解答：解：[解法一]∵復數w滿足w-4=（3-2w）i，∴w（1+2i）=4+3i，
∴w（1+2i）（1-2i）=（4+3i）（1-2i），
∴5w=10-5i，∴w=2-i．
∴z=

5

2-i

+|2-i-2|=

5(2+i)

(2-i)(2+i)

+1=2+i+1=3+i．
若實系數一元二次方程有虛根z=3+i，則必有共軛虛根

.

z

=3-i．
∵z+

.

z

=6，z•

.

z

=10，
∴所求的一個一元二次方程可以是x²-6x+10=0．
[解法二]設w=a+b，（a，b∈Z），∴a+bi-4=3i-2ai+2b，
得

a-4=2b b=3-2a

解得

a=2 b=-1

，∴w=2-i，
以下解法同[解法一]．

點評：熟練掌握復數的運算法則、實數系數一元二次方程的虛根成對原理和根與系數的關系、復數相等是解題的關鍵．