Question

（2012•溫州二模）如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點(diǎn)，M，N是以F₁F₂為直徑的圓上關(guān)于X軸對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（I）設(shè)直線MF₁、NF₂的斜率分別為k₁，k₂，求k₁•k₂值；
（II）直線MF₁和NF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C、D．問是若存在實(shí)數(shù)λ，使得λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|恒成立．若存在，求實(shí)數(shù)λ的值．若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點(diǎn)，可得以F₁F₂為直徑的圓的方程，再求出直線MF₁的斜率、直線NF₂的斜率，即可求得k₁k₂的值；
（II）設(shè)直線MF₁、NF₂的方程代入橢圓方程，分別求得|AB|、|CD|，利用λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|，可得

1

λ

=

1

|AB|

+

1

|CD|

，由此可求實(shí)數(shù)λ的值．

解答：解：（I）∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

2

+y²=1的左、右焦點(diǎn)
∴|F₁F₂|=2，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
∴以F₁F₂為直徑的圓的方程為x²+y²=1
設(shè)M（x₀，y₀），則N（x₀，-y₀），且x02+y02=1
∴直線MF₁的斜率為k₁=

y0

x0+1

，直線NF₂的斜率為k₂=

-y0

x0-1

，
∴k₁k₂=

y0

x0+1

×

-y0

x0-1

=

-y02

x02-1

=1；
（II）設(shè)直線MF₁的方程為y=k₁（x+1），直線NF₂的方程為y=k₂（x-1）
將y=k₁（x+1）代入橢圓方程，消去y可得(1+2k12)x2+4k12x+2k12-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4k12

1+2k12

，x1x2=

2k12-2

1+2k12

∴|AB|=

1+k12

|x1-x2|=

2 2 (1+k12)

1+2k12

同理|CD|=

2 2 (1+k22)

1+2k12

=

2 2 (1+k12)

k12+2

∵λ（|AB|+|CD|）=|AB|•|CD|
∴

1

λ

=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

1+2k12

2 2 (1+k12)

+

2+k12

2 2 (1+k12)

=

3

2 2

∴實(shí)數(shù)λ的值為

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線斜率的計(jì)算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長的計(jì)算，屬于中檔題．