Question

【題目】已知動圓過點，且與圓相內切.

（I）求動圓的圓心的軌跡方程；

（II）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 滿足條件的直線共有9條．

【解析】試題分析：（I）由|AM|=4<R得點A（-2，0）在圓M內，設動圓C的半徑為r，依題意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8>|AM|，由定義得圓心C的軌跡是中心在原點，以A，M兩點為焦點，長軸長為8的橢圓，再根據a，b，c的關系解答即可．
（II）直線l： 與聯立得，同理得，又因為，所以，即，又其中k，m∈Z即可求出k，m的數值．

試題解析：

（1）圓， 圓心的坐標為，半徑.

∵，∴點在圓內.

設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，

即.

∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,

設其方程為, 則.∴.

∴所求動圓的圓心的軌跡方程為.

(2)由 消去化簡整理得： .

設， ，則.

. ①

由 消去化簡整理得： .

設，則,

. ②

∵，∴，即，

∴.∴或.解得或.

當時,由①、②得

∵Z,∴的值為 ， ， ;

當，由①、②得 ，

∵Z,∴.

∴滿足條件的直線共有9條．