Question

已知點M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點，若|PM|的最小值為

7

2

．
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知⊙M：（x-2）²+y²=r²（r＞0），過原點O作⊙M的兩條切線交拋物線于A，B兩點，若直線AB與⊙M也相切．
（i）求r的值；
（ii）對于點Q（t²，t），拋物線C上總存在兩個點R，S，使得△QRS三邊與⊙M均相切，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）點M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點，設P（

y2

2p

，y），所以|PM|²=（

y2

2p

-2）²+y²=

1

4p2

y⁴+（1-

2

p

）y²+4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）（i）由題意A（2+r，

2+r

），B（2+r，-

2+r

），知kOA=

1

2+r

，由此能求出r．
（ii）設R(t12，t1)，S(t22，t2)(t1≠t2)，則QR：y=

1

t+t1

x+

tt1

t+t1

，△QRS三邊與⊙M均相切，故

|2+tt1|

1+(t+t1)2

=1，由此能求出t．

解答：解：（1）∵點M（2，0），P為拋物線C：y²=2px（p＞0）上一動點，設P（

y2

2p

，y），
∴|PM|²=（

y2

2p

-2）²+y²=

1

4p2

y⁴+（1-

2

p

）y²+4，
∴對稱軸為y²=2p（2-p）．
當p≥2，|PM|_min=2，舍
當0＜p＜2，|PM|min=4p-p2=

7

4

，解得p=

1

2

或

7

2

（舍），
所以y²=x．
（2）（i）由題意A（2+r，

2+r

），B（2+r，-

2+r

），
∴kOA=

1

2+r

，
OA：y=

1

2+r

x，∴

2

r+3

=r，
∴（r-1）（r+2）²=1，
解得r=1．
（ii）設R(t12，t1)，S(t22，t2)(t1≠t2)，則QR：y=

1

t+t1

x+

tt1

t+t1

∵△QRS三邊與⊙M均相切，
∴

|2+tt1|

1+(t+t1)2

=1，從而t12(1-t2)-2tt1+t2-3=0，將t₁換成t₂也成立
因為t₁≠t₂，所以t²≠1
故t₁，t₂為方程（1-t²）x²-2tx+t²-3=0的兩根，
∴t1+t2=

2t

1-t2

，t1t2=

t2-3

1-t2

，
故RS：y=

1

t1+t2

x+

t1t2

t1+t2

，即y=

1-t2

2t

x+

t2-3

2t

，
圓心到RS的距離

|2(1-t2)+t2-3|

(1-t2)2+4t2

=1，
解得t=±1．
故t的取值范圍是{-1，1}．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查實數值的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意點到直線的距離公式的求法．