Question

關于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，有下列命題：（1）其圖象關于y軸對稱；（2）當x＞0時，f（x）是增函數(shù)，當x＜0時，f（x）是減函數(shù)；（3）f（x）在區(qū)間（-1，0）和（1，+∞）上均為增函數(shù)；（4）f（x）的最小值是lg2．其中所有正確的結論序號是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）（4）
• C、（1）（3）（4）
• D、（2）（3）（4）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，我們可以判斷出函數(shù)的奇偶性，進而判斷（1）的真假；結合復合函數(shù)的單調性及“對勾”函數(shù)的單調性，我們可以判斷出函數(shù)的單調性，并求出函數(shù)的最小值，進而判斷出（2），（3），（4）的真假，進而得到答案．

解答：解：由已知中函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0)，可得
函數(shù)為偶函數(shù)，則（1）其圖象關于y軸對稱正確；
區(qū)間（-∞，-1），（0，1）是函數(shù)的單調減區(qū)間，（-1，0），（1，+∞）是函數(shù)的單調增區(qū)間，故（2）錯誤，（3）正確；
當x=±1時，函數(shù)取最小值lg2，故（4）是正確；
故選C

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，函數(shù)奇偶性和單調性的綜合應用，復合函數(shù)的單調性，及“對勾函數(shù)”的單調性，是多個函數(shù)難點的綜合應用，難度比較大．