Question

【題目】設f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）．
（1）確定a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+ ，（x＞0），

令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），

由切線與y軸相交于點（0，6）．

∴6﹣16a=8a﹣6，

∴a=

（2）解：由（I）得f（x）= （x﹣5）2+6lnx，（x＞0），

f′（x）=（x﹣5）+ = ，令f′（x）=0，得x=2或x=3，

當0＜x＜2或x＞3時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上為增函數，

當2＜x＜3時，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上為減函數，

故f（x）在x=2時取得極大值f（2）= +6ln2，在x=3時取得極小值f（3）=2+6ln3

【解析】（1）先由所給函數的表達式，求導數fˊ（x），再根據導數的幾何意義求出切線的斜率，最后由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸相交于點（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函數及其導函數，求出導函數的零點，把函數的定義域分段，判斷導函數在各段內的符號，從而得到原函數的單調區間，根據在各區間內的單調性求出極值點，把極值點的橫坐標代入函數解析式求得函數的極值．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的極值對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況．