Question

【題目】如圖（1）五邊形中，

,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，且平面.

（1）求證：平面平面；

（2）若四棱柱的體積為，求四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）要證兩平面垂直，就要證線面垂直，首先利用已知條件與平面垂直，為此取的中點，可證得四邊形為平行四邊形，所以，從而平面，也即

.于是由即及為的中點，可得為等邊三角形，

，由，得， ，可得平面平面平面.

（2）利用棱錐體積公式，三棱錐的底面的面積是四棱錐的底面面積的，高為其一半，由體積公式可得結論．

試題解析：

（1）證明：取的中點，連接，則，

又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，

又平面，

∴平面，

∴.

由即及為的中點，可得為等邊三角形，

∴，

又，∴，∴，

∴平面平面，

∴平面平面.

（2）解：設四棱錐的高為，四邊形的面積為，

則，

又，四面體底面上的高為．

∴，

所以四面體的體積為．