Question

21、設f（x）=x²+bx+c （b，c為常數），方程f（x）-x=0的兩個實根為x₁、x₂且滿足x₁＞0，x₂-x₁＞1．
（1）求證：b²＞2（b+2c）；
（2）0＜t＜x₁，比較f（t）與x₁的大小；
（3）若當x∈[-1，1]時，對任意的x都有|f（x）|≤1，求證：|1+b|≤2．

Answer 1

分析：（1）由韋達定理（一元二次方程根與系數的關系）我們易將x₂-x₁＞1轉化為系數的關系，從而得到b²＞2（b+2c）；
（2）由x₁為方程f（x）-x=0的根，我們得f（t）-x₁轉化為f（t）-f（x₁）即（t-x₁）（t+1-x₁），進而根據x₁+x₂=1-b，我們易判斷t+1-x₂與x₁+1-x₂與0的大小關系，由此可判斷f（t）與x₁的大小；
（3）由x∈[-1，1]時，對任意的x都有|f（x）|≤1，我們令x=0，再結合絕對值不等式的性質，即可得到答案．

解答：（1）證明：方程f（x）-x=0的兩根為x₁、x₂，
因而有（x₂-x₁）²=b²-2b+1-4c，又x₂-x₁＞1，
∴b²-2b+1-4c＞1，∴b²＞2（b+2c）．（5分）
（2）∵x₁是方程f（x）-x=0的根，∴x₁=f（x₁），
∴f（t）-x₁=f（t）-f（x₁）=（t-x₁）（t+x₁+b）
=（t-x₁）（t+1-x₁）．
∵x₁+x₂=1-b，0＜t＜x₁
∴t-x₁＜0，又x₂-x₁＞1，即x₁+1-x₂＜0，
∴t+1-x₂＜x₁+1-x₂＜0
故f（t）-x₁＞0，∴f（t）＞x₁（10分）
（3）證明：∵x∈[-1，1]時，恒有|f（x）|≤1，
∴f（0）=|c|≤1，
|f（1）|=|1+b+c|≤1，
從而|1+b|=|1+b+c-c|≤|1+b+c|+|-c|=|1+b+c|+|c|≤1+1=2．（14分）

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，二次函數的性質，不等式的證明，其中利用方程、函數、不等式之間的關系，將方程問題轉化為函數問題的轉化思想是解答此類問題的關鍵．