Question

【題目】如圖，馬路南邊有一小池塘，池塘岸長(zhǎng)40米，池塘的最遠(yuǎn)端到的距離為400米，且池塘的邊界為拋物線型，現(xiàn)要在池塘的周邊建一個(gè)等腰梯形的環(huán)池塘小路，且均與小池塘岸線相切，記.

（1）求小路的總長(zhǎng)，用表示；

（2）若在小路與小池塘之間（圖中陰影區(qū)域）鋪上草坪，求所需鋪草坪面積最小時(shí)，的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，所需鋪草坪面積最小

【解析】

（1）建立合適的平面直角坐標(biāo)系，求出小池塘的邊界拋物線方程，然后設(shè)出直線的方程，和拋物線聯(lián)立，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)， 同時(shí)可求出的坐標(biāo)，表示出，變形即可得結(jié)果；

（2）要所需鋪草坪面積最小，需要梯形面積最小，利用（1）的結(jié)果表示出梯形面積，利用基本不等式求出最值．

解：（1）以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)作垂直于軸的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，所以，

因?yàn)樾〕靥恋倪吔鐬閽佄锞�型，設(shè)邊界所在的拋物線方程為，

因?yàn)?/span>是曲線上一點(diǎn)，

所以，即拋物線方程為.

設(shè)所在的直線方程：，

聯(lián)立，即，

因?yàn)?/span>與拋物線相切，

所以①.

記直線與拋物線切于點(diǎn)，

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即.

易得點(diǎn)，點(diǎn)，由對(duì)稱性可知，點(diǎn).

所以小路總長(zhǎng)為，

由①及可知

；

（2）記草坪面積為，梯形面積為，小池塘面積為，

所以，因?yàn)樾〕靥撩娣e為定值，要使得草坪面積最小，則梯形面積最小

，

由①知，當(dāng)且僅當(dāng)“”取得“＝”

所以當(dāng)時(shí)，梯形面積最小，即草坪面積最小．