Question

【題目】已知點P和非零實數，若兩條不同的直線 均過點P，且斜率之積為，則稱直線是一組“共軛線對”，如直 是一組“共軛線對”，其中O是坐標原點.

（1）已知是一組“共軛線對”，求的夾角的最小值；

（2）已知點A(0,1)、點和點C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點（A,B,C與P,Q,R均不重合），且直線PR,PQ是“ 共軛線對”，直線QP,QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點P的坐標；

（3）已知點 ，直線是“共軛線對”，當的斜率變化時，求原點O到直線的距離之積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值為；（2）P(3,3)或；（3）.

【解析】

（1）設l1的斜率為k，則l2的斜率為，兩直線的夾角為α，利用夾角公式及基本不等式求最值，即可得到l1，l2的夾角的最小值；

（2）設直線PR，PQ，QR的斜率分別為k1，k2，k3，可得，求解可得k1，k2，k3的值，進一步得到直線PR與直線PQ的方程，聯立得P的坐標；

（3）設l1：,，其中k≠0，利用兩點間的距離公式可得原點O到直線l1，l2的距離，變形后利用基本不等式求解．

（1）設的斜率為k，則的斜率為，兩直線的夾角為a，

則 ，

等號成立的條件是，所以最小值為；

（2）設直線的斜率分別為，

則 得或.

當時，直線的方程為y=，直線的方程為y=，聯立得，P(3,3)；

當時，，直線的方程為y=，直線的方程為y=-，聯立得，；

故所求為P(3,3)或；

（3）設，，其中k，

故=

由于（等號成立的條件是），故，.