Question

已知函數.
（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明函數在區間上為增函數；
（3）若函數在區間上的最大值與最小值之和不小于，求的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）[4,+∞).

解析試題分析：（1）利用奇偶性定義可證；（2）利用單調性定義可證；（3）在單調遞增區間內，由題意可得關于的不等式，解不等式即可.
試題解析：
解：（1）函數是奇函數，              1分
∵函數的定義域為，在軸上關于原點對稱，    2分
且，                 3分
∴函數是奇函數.              4分
（2）證明：設任意實數，且，         5分
則，     6分
∵ ∴，        7分
∴<0 ，    8分
∴<0,即，           9分
∴函數在區間上為增函數.           10分
（3）∵，
∴函數在區間上也為增函數.                  11分
∴，         12分
若函數在區間上的最大值與最小值之和不小于，
則，            13分
∴，
∴的取值范圍是[4,+∞).               14分
考點：函數的單調性，奇偶性，最值.