Question

【題目】已知函數

（1）當，求函數的單調區間；

（2）若有且只有一個實數解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，的單調減區間為；（2）或.

【解析】

（1）先求定義域，再求導數，利用和,求得函數的單調區間；

（2）先求得，,,再分，，討論，時，單調遞增，根據零點存在定理是否存在唯一零點；時可直接代入判斷；時，有極值，再構造函數，從而得到答案.

解：（1），定義域,

時，，，

∴的單調增區間為，的單調減區間為

（2），,

①時，恒成立，單調遞增

，取且，則

唯一，使，符合題意

②時，，,∴無零點，與題意不符

③時，，，單調遞減

，，單調遞增

<1>，，有唯一零點，符合題意

<2>時，令，

由，∴在單調遞減

由，∴

由，∴

∴，∴無零點，與題意不符

<3>，，由，∴

∴，使

設，由，∴單調遞增

由，∴

∴

∴，

∴有2個零點，與題意不符

綜上：或.