【題目】設函數
.
（1）當
求函數
的單調區間和極值；
（2）若存在
滿足
，證明：
成立.
【答案】（1）當
時，
在
上單調遞增沒有極值；當
時，在
上單調遞增，在
上單調遞減，極小值為
；（2）證明見解析.
【解析】
（1）由
時，求得導數
，結合導數的符號，求得函數的單調性，進而求解極值；
（2）由
，得到
，由于
的極小值點為
，可設
，設
，根據函數的單調性求出
，即可求解.
（1）由時，函數
，則，
令
，解得
；令
，解得
；
所以函數在
上單調遞減；在
上單調遞增；
當
時，函數有極小值，極小值為
，無極大值.
（2）由，可得
，從而得，
由
，則
，
由（1）知，當時，從而得在上單調遞增沒有極值，不符合題意；
當時，
，可得；
可得得
，得
，
所以函數在上單調增，在上單調減，
可設
設
，僅當時取得“
”
所以
在為單調遞增函數且
當
，時有
，即
又由，所以
又由(1)知在上單調遞減，且
，
所以
從而得證
成立.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）.
表中
，
.
（1）根據散點圖判斷，
與
哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據
，
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】鐵人中學高二學年某學生對其親屬30人
飲食習慣進行了一次調查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數．（說明：圖中飲食指數低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數高于70的人，飲食以肉類為主．）
（Ⅰ）根據莖葉圖，幫助這位學生說明其親屬30人的飲食習慣；
（Ⅱ）根據以上數據完成下列
的列聯表：
主食蔬菜 | 主食肉類 | 合計 | |
50歲以下人數 | |||
50歲以上人數 | |||
合計人數 |
（Ⅲ）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為其親屬的飲食習慣與年齡有關系？
附：
.
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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