Question

已知在遞增等差數列{a_n}中，a₁＝2，a₁，a₃，a₇成等比數列，{b_n}的前n項和為S_n，且S_n＝2^n＋1－2.
(1)求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
(2)設c_n＝ab_n，求數列{c_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）b_n＝2ⁿ.（2）2^n＋1－2＋n.

(1)∵a₁，a₃，a₇成等比數列，∴＝a₁·a₇，
設等差數列{a_n}的公差為d，則(2＋2d)²＝2(2＋6d)，d＞0，
∴d＝1，a_n＝n＋1.
又S_n＝2^n＋1－2，b₁＝S₁＝2，當n≥2時，b_n＝S_n－S_n－1＝2^n＋1－2－2ⁿ＋2＝2ⁿ，經檢驗，n＝1適合此式，∴b_n＝2ⁿ.
(2)∵c_n＝ab_n＝2ⁿ＋1，
∴T_n＝(2＋1)＋(2²＋1)＋…＋(2ⁿ＋1)＝(2＋2²＋…＋2ⁿ)＋n＝2^n＋1－2＋n.