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證明：任何不大于n！的自然數，都能表示成不多于n個數的和，在這些加數中，沒有兩個是相同的，而且任何一個都是n！的因數．

證明：對n用數學歸納法，

n＝1時，顯然．

設n時結論真．

對a≤(n＋1)！，將a除以n＋1得a＝d(n＋1)＋r，這里d≤n！，0≤r＜n＋1．

由歸納假設，d＝d₁＋d₂＋…＋d_l，l≤n．且所有d_i是n！的不同因數(i＝1，2，…，l)．

于是 a＝d₁(n＋1)＋…＋d_l(n＋1)＋r

這個和中的加數不多于n＋1個，其中每一個都是(n＋1)！的因數，且全不相等．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

給定有限個正數滿足條件T：每個數都不大于50且總和L=1275．現將這些數按下列要求進行分組，每組數之和不大于150且分組的步驟是：首先，從這些數中選擇這樣一些數構成第一組，使得150與這組數之和的差r₁與所有可能的其他選擇相比是最小的，r₁稱為第一組余差；然后，在去掉已選入第一組的數后，對余下的數按第一組的選擇方式構成第二組，這時的余差為r₂；如此繼續構成第三組（余差為r₃）、第四組（余差為r₄）、…，直至第N組（余差為r_N）把這些數全部分完為止．
（Ⅰ）判斷r₁，r₂，…，r_N的大小關系，并指出除第N組外的每組至少含有幾個數；
（Ⅱ）當構成第n（n＜N）組后，指出余下的每個數與r_n的大小關系，并證明r_n-1＞

150n-L

n-1

；
（Ⅲ）對任何滿足條件T的有限個正數，證明：N≤11．

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科目：高中數學 來源： 題型：

集合A₁，A₂，A₃，…，A_n為集合M={1，2，3，…，n}的n個不同的子集，對于任意不大于n的正整數i，j滿足下列條件：
①i∉A_i，且每一個A_i至少含有三個元素；
②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數表（即n×n數表），規定第i行第j列數為：a_ij=

0 當i∉AJ時

1 當i∈AJ時

．
（1）該表中每一列至少有多少個1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請完成下面7×7數表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數式表示n×n數表中1的個數f（n），并證明n≥7；
（3）設數列{a_n}前n項和為f（n），數列{c_n}的通項公式為：c_n=5a_n+1，證明不等式：

5cmn

cmcn

＞1對任何正整數m，n都成立．（第1小題用表）