Question

集合A₁，A₂，A₃，…，A_n為集合M={1，2，3，…，n}的n個不同的子集，對于任意不大于n的正整數i，j滿足下列條件：
①i∉A_i，且每一個A_i至少含有三個元素；
②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）．
為了表示這些子集，作n行n列的數表（即n×n數表），規定第i行第j列數為：a_ij=

0   當i∉AJ時 1        當i∈AJ時

．
（1）該表中每一列至少有多少個1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，請完成下面7×7數表（填符合題意的一種即可）；
（2）用含n的代數式表示n×n數表中1的個數f（n），并證明n≥7；
（3）設數列{a_n}前n項和為f（n），數列{c_n}的通項公式為：c_n=5a_n+1，證明不等式：

5cmn

-

cmcn

＞1對任何正整數m，n都成立．（第1小題用表）

	1	2	3	4	5	6	7
1	0
2		0
3			0
4				0
5					0
6						0
7							0

Answer 1

分析：（1）由已知中a_ij=

0   當i∉AJ時 1        當i∈AJ時

，及①i∉A_i，且每一個A_i至少含有三個元素；②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）．可得數據表中各個數據；
（2）由條件①中的i∉A_i，表明的一條對角線上數字都是0，題設條件②表明除對角線以外，a_ij與a_ji恰好一個為1，可得數表中除該對角線以外，0與1各占一半，即

n(n-1)

2

個1，而據題設條件①每一個A_i至少含有三個元素得：作出的n×n數表的每一列至少有3個1，所以整個n×n數表（共有n列）至少有3n個1，由此構造關于n的不等式，可求出n的范圍
（3）由已知中確定出數列{a_n}，數列{c_n}的通項公式，可證得

5cmn

-

cmcn

＞1對任何正整數m，n都成立．

解答：解：（1）根據條件①每個A_i中至少含有三個元素，作出的數表每一列至少有三個1.7×7數表如下：

	1	2	3	4	5	6	7
1	0	0	0	0	1	1	1
2	1	0	0	1	0	0	1
3	1	1	0	0	0	1	0
4	1	0	1	0	1	0	0
5	0	1	1	0	0	0	1
6	0	1	0	1	1	0	0
7	0	0	1	1	0	1	0

（2）題設條件①中的i∉A_i，表明的一條對角線上數字都是0，題設條件②表明除對角線以外，a_ij與a_ji恰好一個為1，
而另一個為0，即數表中除該對角線以外，0與1各占一半，故數表中共有f（n）=

n(n-1)

2

個1．
另一方面，根據題設條件①每一個A_i至少含有三個元素得：
作出的n×n數表的每一列至少有3個1，所
以整個n×n數表（共有n列）至少有3n個1，
因此列出不等式：

n(n-1)

2

≥3n，
解得n≥7．
（3）∵n≥2時，a_n=f（n）-f（n-1）=n-1
檢驗n=1也成立，故a_n=n-1
∴c_n=5a_n+1=5n-4
要證：

5cmn

-

cmcn

＞1對任何正整數m，n都成立，
只要證：5c_mn＞1+c_m•c_n+2

cmn

∵c_mn=5mn-4，c_m•c_n=25mn-20（m+n）+16
故只要證：5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+2

cmn

，
即只要證：20m+20n-37≥2

cmn

，又
∵2

cmn

≤c_m•c_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37
所以命題得證．

點評：本題考查的知識點是數列的應用，其中正確理解已知中條件：①i∉A_i，且每一個A_i至少含有三個元素；②i∈A_j的充要條件是j∉A_j（其中i≠j）的含義是解答本題的關鍵．