Question

已知點為軸上的動點，點為軸上的動點，點為定點，且滿足，.
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為的直線與曲線交于兩點，，試判斷在軸上是否存在點，使得成立，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）在軸上存在點，使得成立

試題分析：（Ⅰ）設，則由，得為的中點.        ……2分
∴, .
∴ , .
∴, 即.
∴動點的軌跡的方程.                                         ……5分
（Ⅱ）設直線的方程為，由  消去得.
設，, 則, .                      ……6分
假設存在點滿足條件，則, ,
∴

.                                         ……9分
∵,
∴關于的方程有解 .                             ……11分
∴假設成立，即在軸上存在點，使得成立.         ……12分
點評：每年高考都會考查圓錐曲線問題，此類題目一般運算量較大，主要考查學生的運算求解能力和分析問題、解決問題的能力.