Question

【題目】如圖1，一藝術拱門由兩部分組成，下部為矩形，的長分別為和，上部是圓心為的劣弧，．

（1）求圖1中拱門最高點到地面的距離；

（2）現欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設與地面水平線所成的角為．記拱門上的點到地面的最大距離為，試用的函數表示，并求出的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拱門最高點到地面的距離為．（2），其最大值為

【解析】

（1）求出圓的半徑，結合圓和RT△的性質求出拱門最高點到地面的距離即可；

（2）通過討論P點所在的位置以及三角函數的性質求出h的最大值即可．

（1）如圖，過作與地面垂直的直線交于點，交劣弧于點，的

長即為拱門最高點到地面的距離．

在中，，，

所以，圓的半徑．

所以．

答：拱門最高點到地面的距離為．

（2）在拱門放倒過程中，過點作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點．

當點在劣弧上時，拱門上的點到地面的最大距離等于圓的半徑長與圓心到地面距離之和；

當點在線段上時，拱門上的點到地面的最大距離等于點到地面的距離．

由（1）知，在中，．

以為坐標原點，直線為軸，建立如圖所示的坐標系．

當點在劣弧上時，．

由，，

由三角函數定義，

得 ，

則．

所以當即時，

取得最大值．

當點在線段上時，．設，在中，

，

．

由，得．

所以 ．

又當時，．

所以在上遞增．

所以當時，取得最大值．

因為，所以的最大值為．

綜上，藝術拱門在放倒的過程中，拱門上的點到地面距離的最大值為（）．